-1 المعادلة x. cosx. x = 2 M. و π. π π. π π. π π. حيث π. cos x = إذن حيث. 5π π π 5π. ] [ 0;π حيث { } { }

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "-1 المعادلة x. cosx. x = 2 M. و π. π π. π π. π π. حيث π. cos x = إذن حيث. 5π π π 5π. ] [ 0;π حيث { } { }"

Τιμόθεος Παπάζογλου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 الحساب المثلثي الجزء - الدرس الا ول القدرات المنتظرة التمكن من تمثيل وقراءة حلول معادلة أو متراجحة مثلثية على عدد الساعات: 5 الداي رة المثلثية الدورة الثانية k k I- المعادلات المثلثية cos x = a - المعادلة x cos x = حل مثال : يقطع الداي رة المثلثية x = لدينا المستقيم M و ' M أفصوليهما المنحنيين الري يسيين في نقطتين على التوالي هما و -. M + k بحيث k هي الا فاصيل المنحنية للنقطة بما أن M ' هي الا فاصيل المنحنية للنقطة k + بحيث k و حيث x = + k أو x = + k تكافي cos x = فا ننا نستنتج أن S = + k + k إذن x [ ;] cosx = حل مثال نتبع نفس الخطوات السابقة فنحصل على k حيث x = + k أو x = + k تكافي cos x = ; وحيث أننا نحل المعادلة في المجال ] [ + k أو + k فان 7 5 لدينا + k تكافي k تكافي = k أو = 0 k ومنه = x أو = x 5 7 لدينا + k تكافي k تكافي = k أو = 0 k ومنه = x أو = x 5 5 إذن ; ; ; = S خلاصة * المعادلة cos x = a لا تقبل حلا إذا آان a a k / x = k إذا وفقط إذا آان x cos x = * k / x = + k إذا وفقط إذا آان x cos x = * cosα = a ] [ 0; α فان يوجد عنصر a * إذا آان من حيث و بالتالي حلول المعادلة cos x = a في هي x = α + k أو x = α + k حيث S = α + k α + k { } { }

2 k تمرين حل المعادلات x cos x+ = cos( x) x ] ;] cos x = x ; cos x+ cos x+ = 0 [ [ الحل x cos x * نحل x) + = cos( k حيث x = x + k أو x = x+ + k تكافي cos x + = cos( x) k حيث x تكافي x = + k أو + k = تكافي x = + k أو x = + k حيث k 9 S = + k / k + k / k إذن 9 5 cos = cos = 6 6 x ] ;] cos x = cos = 6 * نحل نعلم أن ومنه 5 5 x حيث = + k أو x = + k تكافي cos x و بالتالي = k حيث x = + k أو x تكافي + k = 9 تكافي x = + k أو x = + k حيث k x ] ; فان و حيث ] من أجل x = + k لدينا + k أي k + 5 ومنه k و حيث k فان = k أو = 0 k أو = k أو = K x = + إذن = x = أو = x أو = x = + أو = من أجل x = + k لدينا + k أي k + 7 ومنه k و حيث k فان = 0 k أو = k أو = K أو = k 7 7 x = + x = + أو = إذن = x = + 0 أو = x = + أو = إذن ; ; ; ; ; ; ; = S x ; * نحل = 0 x+ cos x+ cos [ [ X + X + = نضع cos x = X المعادلة تصبح 0 ليكن مميز المعادلة

3 x = اذن k = 0 0 k k = = + ومنه = = X أو = = X و بالتالي = x cos أو = x cos لدينا = x cos تكافي k / x = + k و حيث ;[ x [ فان + k أي لدينا = x cos أي cos x = cos ومنه x = + k أو x = + k حيث ومنه 5 أي k ومنه = k 6 x [ ; و حيث [ فان من أجل x = + k لدينا + k x = + إذن = من أجل x = + k لدينا + k أي يحقق المتفاوتة الا خيرة S = إذن ; - المعادلة sin x = a k لا يوجد عدد صحيح نسبي 6 مثال حل = x x sin لدينا المستقيم = y : يقطع الداي رة المثلثية في نقطتين M و ' M أفصوليهما المنحنيين الري يسيين على التوالي هما و =. + k بحيث k هي الا فاصيل المنحنية بما أن + k بحيث k هي الا فاصيل للنقطة M و المنحنية للنقطة ' M فا ننا نستنتج أن k حيث x = + k أو x = + k تكافي sin x = S = + k + k إذن x [ ;] sinx مثال حل = نتبع نفس الخطوات السابقة فنحصل على k حيث x = + k أو x = + k تكافي sin x = [ وحيث أننا نحل المعادلة في المجال[ ;

4 ي ف + k أو + k فان 7 8 لدينا + k تكافي k 6 6 تكافي = k أو = 0 k أو = k 5 7 ومنه = x أو = x أو = x 8 7 لدينا + k تكافي k لدينا 6 6 تكافي = k أو = 0 k أو = k 8 ومنه = x أو = x أو = x إذن ; ; ; ; ; = S خلاصة المعادلة sin x = a لا تقبل حلا إذا آان a a k / x = + k x sinx = k / x = + k x sinx = ; sinα = a من حيث α فان يوجد عنصر a إذا آان حلول المعادلة sin x = a هي x = α + k أو x = α + k حيث k S = α + k / k α + k مجموعة حلول المعادلة / k { } { } x sin x + = cos( x تمرين حل المعادلات ) x ] ;] sin x = الحل x sin x + = cos( x نحل ) sin x + = sin x تكافي sin x + = cos( x) k حيث x + = + x+ k أو x + = x+ تكافي k k حيث x = + k أو 5x تكافي + k = 6 6 k حيث x = + ( k تكافي x = + k أو ) S = + k / k + ( k) / k إذن x ] ;] نحل = sin x sin x = sin sin x تكافي = 6 k حيث x = + + k أو x تكافي + k = 6 6

5 k = و حيث أن 7 k حيث x = + k أو x تكافي + k = 7 تكافي x = + k أو x = + k حيث k x ; فان ] ] 5 7 من أجل x = + k لدينا + k أي k و منه = k أو = 0 k أو 5 إذن = x = أو = x أو = x = + 7 من أجل لدينا + k ومنه k و منه = k أو = 0 k أو = k إذن = x = أو = x أو = x = ومنه ; ; ; ; ; = S - المعادلة tan x = a حل المعادلة = x x tan نعتبر المماس الداي رة المثلثية ) C ( في أصلها I نا خد النقطة T من حيث أفصول T في المحور ( C ) المستقيم ) OT ( يقطع الداي رة المثلثية في النقطتين M و ' M نعلم أن = ) tan( و بالتالي أفصول منحني للنقطة M x + k / لكل k tan( x + k وبما أن = tan x ) x = + k فان حلول المعادلة هي / k S = + k اذن / k خاصية ; tan x حيث α حل للمعادلة = a في tan x = a x = α + k [ ] x 0; tan x = تمرين حل المعادلتين x tan x = tan x -II المتراجحات المثلثية مثال x ] ; ] cosx حل x ] ; ] cosx نحل أولا المعادلة = با تباع خطوات حل المعادلات نحصل على 5

x = أو x = تكافي x ] ; ] cosx = ' M نقطتين من الداي رة المثلثية M و لتكن مجموعة حلول المتراجحة هي مجموعة الا فاصيل التي تنتمي إلى القوس IM M ' S = وهذه المجموعة هي ; في ] ; ] المنحنية للنقط( ( C x =

6 x = أو x = تكافي x ] ; ] cosx = ' M نقطتين من الداي رة المثلثية M و لتكن مجموعة حلول المتراجحة هي مجموعة الا فاصيل التي تنتمي إلى القوس IM M ' S = وهذه المجموعة هي ; في ] ; ] المنحنية للنقط( ( C x = 5 أو x [ 0; مثال حل x [ cos x [ 0; نحل أولا المعادلة = x [ cos 7 x = أو x = تكافي x [ 0; [ cos x = 7 و أفصولين منحنيين لنفس النقطة M 5 نعتبر أفصول منحني للنقطة ' M مجموعة حلول المتراجحة هي مجموعة الا فاصيل المنحنية للنقط( ( C التي تنتمي الى القوس IM M ' في [ 0; [ 5 7 وهذه المجموعة هي ; 0; = S مثال x 0; حل x tan x = [ ] [ ] x 0; tan x = x = [ ] نحل المعادلة = x x 0; tan تكافي أفصول منحني للنقطة أو A أفصول منحني للنقطة B نعتبر و مجموعة حلول المتراجحة هي مجموعة الا فاصيل المنحنية للنقط( ( C التي تنتمي إلى اتحاد القوسين AJ و ' BJ 0; ] [ في وهذه المجموعة هي ; ; = S تمرين x ] ; ] sinx حل x ] 0; ] sin x x 0; tan x [ ] 6

7 x متراجحات تو ول في حلها إلى متراجحات أساسية تمرين حل x [ ; ] sin x 0; tan x [ ] x ] ] ( ) x ; cos x + cos x tanx ; 0 sin x ] ] -III الزوايا المحيطية الرباعيات الداي رية - تعريف الزاوية المرآزية : هي زاوية رأسها مرآز الداي رة الزاوية المحيطية : هي زاوية ينتمي رأسها للداي رة وتحصر بين ضلعيها قوسا من هذه الداي رة (C ( غير متقابلتين قطريا B A O ( C) و -خاصيات نشاط لتكن نقطة من داي رة مرآزها بحيث و و نعتبر نقطتين مختلفتين من AB تحصران نفس القوس M مستقيمية AMB من ) ( AOB ( C) - بين أن AOB = AMB في الحالات التالية M و O و A مستقيمية أ / M و O و A غير مستقيمية ب/ N و O و حيث C N يمكن اعتبار نقطة BAT و باستعمال أ/ مرتين بين المطلوب المماس للداي رة (C ). الزاوية محيطية تحصر نفس القوس التي تحصره الالزاوية ( AT ) M - نعتبر المرآزية AOB AOB = TAB بين أن الحل أ/ M و O و A مستقيمية المثلث OBM متساوي الساقين في الرأس O BOM = BMO ومنه و حيث BOM = AOB لا ن M و O و A مستقيمية AOB = BMO فان اذن AOB = AMB ب / M و O و A غير مستقيمية N من( C ( حيث N و O و M مستقيمية NOB = NMB حسب أ/ لدينا لدينا OAM مثلث متساوي الساقين في الرأس O AOM = و منه AMO لدينا AOB = NOB + AOM ( ) ( ) AOB = ( AMO NMB) ومنه AOB = NMB + AMO 7

8 إذن AOB = AMB AOB = TAB / بين أن OAB = BAT ومنه ( C) المماس للداي رة ( AT ) لدينا OAB متساوي الساقين في الرأس O OAB = OAB ومنه OAB = BAT و بالتالي AOB = TAB إذن خاصية قياس زاوية مرآزية في داي رة هو ضعف قياس زاوية محيطية تحصر نفس القوس التي تحصره هذه الزاوية المرآزية O ( C) D و C B A نشاط و و لتكن نقط مختلفة من داي رة مرآزها ABC = ADC أو بين أن ABC + ADC = خاصية و D نقط مختلفة من المستوى C ثلاث نقط من داي رة B و A و ABC أو = ADC ( C) ABC + ADC = تكون D من الداي رة (C )إذا و فقط إذا آان - علاقات الجيب في مثلث نشاط ABC R شعاع الداي رة المحيطة بالمثلث ABC مثلثا و ليكن BC AC AB = R = = في الحالات التالية بين أن ABC قاي م الزاوية في A أ/ ABC حادة ب/ جميع زوايا المثلث ABC منفرجة ج/ إحدى زوايا المثلث الجواب ABC قاي م الزاوية في A أ/ BC sin BC R ومنه A = sin = AC sin AC BC R ومنه B = = sin B BC R AB sin AB AB R ومنه C = = sin C BC R BC AC AB = = = R إذن ABC حادة ب/ جميع زوايا المثلث C نعتبر D نقطة مقابلة قطريا مع B قاي م الزاوية في DBC D زاويتان محيطيتان تحصران نفس القوس لدينا A BC BC sin BC BC R = = D ومنه sin R A sin D = DC R 8

9 S DAC قاي م الزاوية في A لدينا CDA B زاويتان محيطيتان تحصران نفس القوس و AC sin AC AC sin AC R إذن B = ومنه CDA = = sin B R DC R AB R sin C بالمثل نعتبر نقطة مقابلة قطريا مع A و نبين BC AC AB = = = R إذن ABC منفرجة ج/ إحدى زوايا المثلث لنفترض أن A منفرجة C نعتبر D نقطة مقابلة قطريا مع sin D = متكاملتان ومن ˆD و Â BC BC sin BC BC R = = D ومنه sin R A sin D = DC R C حادتان B و الزاويتان AC AB R نحصل على R sin B و sin C حسب ب/ BC AC AB = = = R إذن R شعاع الداي رة المحيطة به ABC مثلثا و خاصية ليكن BC AC AB = = = R - علاقات في المثلث (المساحة - المحيط) نشاط A على H المسقط العمودي ل ABC مثلثا و ليكن و BC) ( مساحته S = ( BC AC - بين أن C) sin - ليكن r شعاع الداي رة المحاطة بالمثلث ABC و O مرآزها أ/ أحسب مساحة AOC بدلالة r و AC ABC محيط المثلث p حيث S = p ب/ بين أن r p مساحته S ABC خاصية ليكن مثلثا و r شعاع الداي رة المحاطة به و S = ( BC AC sin C) S = p r محيطه 9

Σχετικά έγγραφα

( D) .( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) الا سقاط M ( ) ( ) M على ( D) النقطة تعريف مع المستقيم الموازي للمستقيم على M ملاحظة: إذا آانت على أ- تعريف المستقيم ) (

( D) .( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) الا سقاط M ( ) ( ) M على ( D) النقطة تعريف مع المستقيم الموازي للمستقيم على M ملاحظة: إذا آانت على أ- تعريف المستقيم ) ( الا سقاط القدرات المنتظرة *- الترجمة المتجهية لمبرهنة طاليس 1- مسقط نقطة مستقيم D مستقيمين متقاطعين يجد مستقيم حيد مار من هذا المستقيم يقطع النقطة يازي في نقطة حيدة ' ' تسمى مسقط نقطة من المستى تعريف )